Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}m{x^2}$-1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），g（x）=e^mx+f′（x）．
（Ⅰ）若f（2）=11，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證明函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（2）=11，求得m=-2，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）利用g′（x）≥0說明函數(shù)為增函數(shù)，利用g′（x）≤0說明函數(shù)為減函數(shù)．注意參數(shù)m的討論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對(duì)任意的m，g（x）在[-1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}m{x^2}$-1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3x²-mx，
f（2）=11，可得8-2m-1=11，解得m=-2，
即f（x）=x³+x²-1導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2x，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為5，切點(diǎn)為（1，1），
則在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-1=5（x-1），
即為5x-y-4=0；
（Ⅱ）證明：g（x）=e^mx+f′（x）=e^mx+3x²-mx．
g′（x）=m（e^mx-1）+6x．
若m≥0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，e^mx-1≤0，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，e^mx-1≥0，g′（x）＞0．
若m＜0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，e^mx-1＞0，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，e^mx-1＜0，g′（x）＞0．
所以，g（x）在（-∞，0）時(shí)單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅲ）由（1）知，對(duì)任意的m，g（x）在[-1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，
故g（x）在x=0處取得最小值．
所以對(duì)于任意x₁，x₂∈[-1，1]，|g（x₁）-g（x₂）|≤e+1的充要條件是
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）-g（0）≤e+1}\\{g（-1）-g（0）≤e+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}-m+2≤e+1}\\{{e}^{-m}+m+2≤e+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}-m≤e-1}\\{{e}^{-m}+m≤e-1}\end{array}\right.$，
設(shè)函數(shù)h（t）=e^t-t-e+1，則h′（t）=e^t-1．
當(dāng)t＜0時(shí)，h′（t）＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，h′（t）＞0．
故h（t）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．
又h（1）=0，h（-1）=e^-1+2-e＜0，故當(dāng)t∈[-1，1]時(shí)，h（t）≤0．
當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，h（m）≤0，h（-m）≤0，即合式成立；
當(dāng)m＞1時(shí)，由h（t）的單調(diào)性，h（m）＞0，即e^m-m＞e-1．
當(dāng)m＜-1時(shí)，h（-m）＞0，即e^-m+m＞e-1．
綜上，m的取值范圍是[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應(yīng)用和恒成立在求參數(shù)中的應(yīng)用．屬于難題．