Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC=90°，AC=2PA=4，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）求二面角B-AP-C的余弦值；
（3）判斷在線段AC上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQB為直角三角形？若存在，找出所有符合要求的點(diǎn)Q，并求

AQ

QC

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)及三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；
（2）可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出二面角的兩個(gè)平面的法向量的夾角，進(jìn)而即可得出二面角的大��；
（3）先假設(shè)存在，分以下三種情況討論：當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，利用向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系即可判斷出．

解答：解：（1）如圖，過P作PO⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC．
在△APC中，∠APC=90°，AC=2PA=4，∴∠PAC=60°，∴PO=APsin60°=

3

，AO=1．
∴三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

PO×S△ABC=

1

3

×

3

×

3

4

×42=4．
（2）取AC，AB的中點(diǎn)分別為M，N，連接BM，ON．
在等邊△ABC中，∵O、N分別為AM、AB的中點(diǎn)，∴ON∥BM，∴ON⊥AC．
由（1）可知：PO⊥平面ABC，∴PO⊥ON，PO⊥OC，因此可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
A（0，-1，0），B（2

3

，1，0），C（0，3，0），P（0，0，

3

）．
∴

AB

=(2

3

，2，0)，

AP

=(0，1，

3

)．
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面PAB的一個(gè)法向量，則

n

•

AB

=0，

n

•

AP

=0．
∴

2 3 x+2y=0 y+ 3 z=0

，令y=-

3

，則x=1，z=1．∴

n

=(1，-

3

，1)．
∵x軸⊥平面APC，∴可以取

m

=(1，0，0)作為平面APC的法向量．
設(shè)二面角B-AP-C的大小為θ，由圖可知θ∈(0，

π

2

)．
∴cosθ=

| m • n |

| m | | n |

=

1

1+(- 3 )2+1

=

5

5

．
∴二面角B-AP-C的余弦值為

5

5

．
（3）在線段AC上存在點(diǎn)Q，使得△PQB為直角三角形．
設(shè)Q（0，m，0）（-1≤m≤3）．
則

PQ

=(0，m，-

3

)，

BQ

=(-2

3

，m-1，0)，

PB

=(2

3

，1，-

3

)．
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，則

PQ

•

BQ

=0，得m（m-1）=0，解得m=0或1．
當(dāng)m=0時(shí)，Q與O重合，△PQB為直角三角形，且

AQ

QB

=

1

3

；
當(dāng)m=1時(shí)，Q與M重合，△PQB為直角三角形，且

AQ

QB

=1；
②當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，則

PB

•

BQ

=0，得-12+m-1=0，解得m=13，不符合題意，應(yīng)舍去；
③當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，則

PB

•

PQ

=0，得m+3=0=0，解得m=-3，不符合題意，應(yīng)舍去．
綜上可知：在線段AC上存在點(diǎn)Q，使得△PQB為直角三角形，且

AQ

QB

=

1

3

或

AQ

QB

=1．

點(diǎn)評：熟練掌握線面、面面垂直的判定和性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用二面角的兩個(gè)平面的法向量的夾角求出二面角的大小、分類討論的思想方法、向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．