Question

（2008•普陀區(qū)二模）已知無窮數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是以10為首項，以-2為公差的等差數(shù)列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是以

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為首項，以

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為公比的等比數(shù)列（m≥3，m∈N^*）；并且對一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立．
（1）當m=3時，請依次寫出數(shù)列{a_n}的前12項；
（2）若a₂₃=-2，試求m的值；
（3）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，問是否存在m的值，使得S_128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）等差數(shù)列通項公式岙a(chǎn)_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12．由 對一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立．數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2m．當m=3時，先求出數(shù)列{a_n}的前6項，再由周期為6寫出數(shù)列{a_n}的第7至12項．
（2）由題意知，a₂₃=-2是等差數(shù)列中的項，求出項數(shù)n，據(jù)a_n+2m=a_n成立知，數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2m，由n+2m=n解出m的值．
（3）由S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

)+10+8+6．知S128m+3=704m-64m2+88-64•(

1

2

)m≥2008，設f（m）=704m-64m²，g(m)=1920+64•(

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2

)m，g（m）＞1920；f（m）=-64（m²-11m），在m=5或6時取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在這樣的m．

解答：解：（1）等差數(shù)列通項公式：a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比數(shù)列通項公式：a_m+n=

1

2

•(

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2

)m+n-1=(

1

2

)m+n，
∵對一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立．
∴數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2m．
當m=3時，a₁=-2×1+12=10，
a₂=-2×2+12=8，
a₃=-2×3+12=6，
a₄=-2×4+12=4，
a₅=-2×5+12=2，
a₆=-2×6+12=0，
a₇=a₁=10，
a₈=a₂=8，
a₉=a₃=6，
a₁₀=a₄=4，
a₁₁=a₅=2，
a₁₂=a₆=0．
（2）由題意知，a₂₃=-2是等差數(shù)列中的項，在等差數(shù)列中，
令-2n+12=-2，n=7，
對一切正整數(shù)n，都有a_n+2m=a_n成立，a₂₃=-2，
∴7+2m=23，
∴m=8．
（3）S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

)+10+8+6 S128m+3=704m-64m2+88-64•(

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)m≥2008
704m-64m2≥2008-88+64•(

1

2

)m，
設f（m）=704m-64m²，g(m)=1920+64•(

1

2

)m
g（m）＞1920；
f（m）=-64（m²-11m），對稱軸 m=

11

2

∉N*，
所以f（m）在m=5或6時取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
所以不存在這樣的m．

點評：本題考查數(shù)列概念，數(shù)列表示法及等比數(shù)列性質(zhì)和數(shù)列與不等式的綜合應用，解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．