Question

已知函數(shù) f（x）=

1

2

x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值．
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，求證：無論c 取何值，直線y=-6

2

x+c均不可能與函數(shù)f（x）相切；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）把a=-1代入原函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)后利用基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的值域，從而說明無論c 取何值，直線y=-6

2

x+c均不可能與函數(shù)f（x）相切；
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，假設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-ax，只要使函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)即可，利用其導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0可求解a的取值范圍．

解答：解；（Ⅰ）：（Ⅰ）顯然函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=1時，f′(x)=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

，(x＞0)．
∴當(dāng)x∈（0，2）時，f^′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時，f^′（x）＞0．
∴f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為f（2）=-2ln2；
（Ⅱ）∵a=-1，∴f′(x)=x+

2

x

-3，
假設(shè)直線與f（x）相切，設(shè)切點為（x₀，y₀），則f′(x0)=-6

2

．
∵x＞0，∴f′(x)=x0+

2

x0

-3≥2

2

-3＞-6

2

，所以f′(x0)≠-6

2

，
所以無論c取何值，直線y=-6

2

x+c均不可能與函數(shù)f（x）相切；
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立．
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)．
又函數(shù)g(x)=

1

2

x2-2alnx-2x．
考查函數(shù)g′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

=

(x-1)2-1-2a

x

．
要使g^′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤-

1

2

，
故存在實數(shù)a∈(-∞，-

1

2

]對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點出的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式恒成立問題，是難題．