Question

p：x²+2x+a≥0，q：|x-3|＞2，若p是?q的必要不充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出p，q成立的等價條件，利用p是?q的必要不充分條件，建立條件關(guān)系即可求a的取值范圍．

解答：解：由|x-3|＞2，得x-3＞2或x-3＜-2，
即x＞5或x＜1，即q：x＞5或x＜1，￢q：1≤x≤5，
∵p：x²+2x+a≥0，
∴若p是?q的必要不充分條件，
即￢q⇒p成立，p⇒￢q不成立，
即當(dāng)1≤x≤5時，不等式x²+2x+a≥0恒成立，
即a≥-x²-2x，在1≤x≤5上恒成立，
設(shè)f（x）=-x²-2x，
則f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∵1≤x≤5，
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）有最大值f（1）=-1-2=-3，
∴a≥-3．
即a的取值范圍為[3，+∞）．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式之間的關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為最值恒成立是解決本題的關(guān)鍵．