Question

已知橢圓E：

x2

100

+

y2

25

=1的上頂點為A，直線y=-4交橢圓E于點B，C（點B在點C的左側(cè)），點P在橢圓E上．
（Ⅰ）求以原點O為頂點，橢圓的右焦點為焦點的拋物線的方程；
（Ⅱ）求以原點O為圓心，與直線AB相切的圓的方程；
（Ⅲ）若四邊形ABCP為梯形，求點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)出拋物線方程，由橢圓方程求得橢圓的右焦點坐標，代入拋物線方程求得P，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）由橢圓方程求得上頂點A的坐標，把y=-4代入橢圓方程求出B，C的坐標，求出直線AB的方程，由原點O到直線AB的距離得到所求圓的半徑，則圓的方程可求；
（Ⅲ）由題意可知，要使四邊形ABCP為梯形，當(dāng)且僅當(dāng)CP∥AB，由此求出CP的方程，和橢圓聯(lián)立求得P點的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)此拋物線的方程為y²=2px，
由橢圓E：

x2

100

+

y2

25

=1，
得橢圓的右焦點為(5

3

，0)，
∴

p

2

=5

3

，即p=10

3

．
∴此拋物線的方程為y2=20

3

x；
（Ⅱ）由條件知：A（0，5），B（-6，-4），
∴kAB=

3

2

．
∴直線AB的方程：y=

3

2

x+5，即3x-2y+10=0．
∴O到直線AB的距離為

|10|

32+(-2)2

=

10 13

13

，即圓半徑r=

10 13

13

．
∴以原點O為圓心，與直線AB相切的圓的方程x2+y2=

100

13

；
（Ⅲ）要使四邊形ABCP為梯形，當(dāng)且僅當(dāng)CP∥AB，
∴kCP=kAB=

3

2

．
∴直線CP的方程為y+4=

3

2

(x-6)，即y=

3

2

x-13．
把y=

3

2

x-13代入

x2

100

+

y2

25

=1，得：5x²-78x+288=0．
解得：x=6或x=

48

5

．
∴P(

48

5

，

7

5

)．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了點到直線的距離公式，考查了兩直線平行的條件，是中檔題．