Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（5$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow$=（sinx，2cosx），記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式得到函數(shù)解析式，并化簡(jiǎn)，得到函數(shù)周期；
（2）解不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得到x范圍即為所求．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²，
$\begin{array}{l}f（x）=5\sqrt{3}cosxsinx+{sin^2}x+6{cos^2}x=\frac{{5\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}+3（1+cos2x）\\=\frac{{5\sqrt{3}sin2x+5cos2x+7}}{2}=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}\end{array}$
∴$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）解：不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得
∴$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]\;（k∈Z）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算以及三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和正弦函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用；屬于中檔題．