Question

已知公差d不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₇ 成等比數(shù)列．
（1）求通項a_n 及前n項和S_n；
（2）若有一新數(shù)列{b_n}，且b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由條件建立方程組即可求出數(shù)列的公差，從而可求通項a_n 及前n項和S_n；
（2）利用裂項法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵a₁，a₃，a₇ 成等比數(shù)列，
∴a32=a1a7，
即（1+2d）²=a₁+6d，
∴4d2-2d=0，d=

1

2

，或d=0（舍去）．
∴數(shù)列的通項公式an=1+

1

2

(n-1)=

1

2

n+

1

2

，
前n項和S_n，Sn=

n(1+ 1 2 n+ 1 2 )

2

=

1

4

n2+

3

4

n．
（2）由（1）得an=

n+1

2

，
∴an+1=

n+2

2

，
∴bn=

1

anan+1

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴Tn=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=

2n

n+2

．

點評：本題主要考查數(shù)列的遞推公式，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，要求熟練掌握相應(yīng)的通項公式和前n項和公式，要求熟練掌握裂項法求和，考查學(xué)生的計算能力．