(2012•鄭州二模)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=60°,AC∩BD=O,側(cè)棱AA1⊥BD,AA1=4,棱AA1與底面所成的角為60°,點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn).
(I)證明:OF∥平面BCC1B1;
(II)求三棱錐C1-BCD的體積.
分析:(I)△DBC1中利用中位線定理,得OF∥BC1,結(jié)合線面平行的判定定理,可得OF∥平面BCC1B1
(II)由BD與A1A、AC兩條相交直線垂直,可得BD⊥平面ACC1A1,從而平面ABCD⊥平面ACC1A1.過(guò)A1作A1M⊥AC于M,得到A1M⊥平面ABCD,且∠A1AM是AA1與底面所成的角.在Rt△AA1M中,算出A1M的長(zhǎng),再用正弦定理算出△BCD的面積,最后用錐體體積公式,可得三棱錐C1-BCD的體積.
解答:解:(I)∵四邊形ABCD為菱形,AC∩BD=O,
∴O是BD的中點(diǎn)…(2分)
又∵點(diǎn)F為C1D的中點(diǎn),
∴OF是△DBC1的中位線,得OF∥BC1,…(4分)
∵OF?平面BCC1B1,BC1⊆平面BCC1B1,
∴OF∥平面BCC1B1;…(6分)
(II)∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD,
又∵BD⊥AA1,AA1∩AC=A,BD⊥平面ACC1A1,
∵BD?平面ABCD,
∴平面ABCD⊥平面ACC1A1,…(8分)
在平面ACC1A1內(nèi)過(guò)A1作A1M⊥AC于M,則A1M⊥平面ABCD,
∴AM是直線AA1在平面ABCD內(nèi)的射影,∠A1AM=60°…(10分)
在Rt△AA1M中,A1M=AA1•sin60°=2
3
,
∴三棱錐C1-BCD的底面BCD上的高為2
3
,
又∵S△BCD=
1
2
BC•CD•sin60°=
3
,
∴三棱錐C1-BCD的體積V=
1
3
×S△BCD×A1M=
1
3
×
3
×2
3
=2.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題給出底面為菱形,且側(cè)棱垂直于一條對(duì)角線的四棱柱,求證線面平行并且求錐體體積,著重考查了線面平行的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí),屬于中檔題.
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(2012•鄭州二模)已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx.
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1
2
時(shí),求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
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1
4
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(2012•鄭州二模)已知a∈(-
π
2
,0),sina=-
3
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,則tan(π-a)=
3
4
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,0),sinα=-
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