Question

已知函數(shù)，其中n∈N*，a為常數(shù)。
（1）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有f（x）≤x-1。

Answer 1

解：（1）由已知得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞1}，
當(dāng)n=2時(shí)，
所以f′（x）=
（i）當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0得
＞1，＜1
此時(shí)f′（x）=
當(dāng)x∈（1，x₁）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，f′（x）＞0， f（x）單調(diào)遞增
（ii）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值
綜上所述，n=2時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在處取得極小值，極小值為
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值。
（2）因?yàn)閍=1，所以
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令
則g′（x）=1+＞0（x≥2）
所以當(dāng)x∈[2，+∞]時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，
又g（2）=0
因此≥g（2）=0恒成立，
所以f（x）≤x-1成立；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
要證≤x-1，由于＜0，所以只需證ln（x-1） ≤x-1，
令h（x）=x-1-ln（x-1），
則h′（x）=1-≥0（x≥2），
所以，當(dāng)x∈[2，+∞]時(shí)，單調(diào)遞增，
又h（2）=1＞0，
所以當(dāng)x≥2時(shí)，恒有h（x）＞0，
即ln（x-1）＜x-1命題成立
綜上所述，結(jié)論成立。