Question

（14分）如圖，已知四棱錐的正視圖和側視圖均是直角三角形，俯視圖為矩形，N、F分別是SC、AB的中點， ，．

（1）求證：SA⊥平面ABCD

（2）求證：NF∥平面SAD；

（3）求二面角A-BN-C的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

17. (1)∵∴-------(3分)

(2)取SD的中點N，連接MN，AM

∵N為SC的中點，∴MN∥CD且MN=

  又矩形ABCD中，F為AB的中點，∴AF∥CD且AF=

  ∴AF∥MN且AF=MN   則四邊形AFNM為平行四邊形----------（5分）

  ∴AM∥FN   AM平面SAD    FN平面SAD   ∴NF∥平面SAD------（7分）

(3)以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，SA所在直線為軸的空間直角坐標系，如圖所示．

則依題意可知相關各點的坐標分別是：

，，，，如下圖所示．

∴------------------…（9分）

∴，

--------------（10分）

設平面ABN的法向量

令----------------------------------------（11分）

設平面的法向量，則，

所以      即                  

所以

令，則------------------------------  (12分)

∴ ------------     （13分）

由圖形知，二面角是鈍角二面角

所以二面角的余弦值為．........................................................ （14分）

 

【解析】略