Question

將平面上的每個(gè)點(diǎn)都以紅，藍(lán)兩色之一著色．證明：存在這樣兩個(gè)相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色．

Answer 1

【答案】分析：法一：首先證明平面上一定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形，再把三角形補(bǔ)成矩形，把矩形的每邊都分成n等分（n為正奇數(shù)，n＞1，本題中取n=1995），連接對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn)，把矩形ABCD分成n²個(gè)小矩形．即可得到結(jié)論；
法二：以任一點(diǎn)O為圓心，a及1995a為半徑作兩個(gè)同心圓，在小圓上任取9點(diǎn)，必有5點(diǎn)同色，作射線交大圓于五點(diǎn)，則此五點(diǎn)中必存在三點(diǎn)同色，一次可得結(jié)論．
解答：法一：證明：首先證明平面上一定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形．
任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點(diǎn)同色．設(shè)此兩點(diǎn)為P、Q，不妨設(shè)P、Q同著紅色．
過P、Q作直線l的垂線l₁、l₂，
若l₁或l₂上有異于P、Q的點(diǎn)著紅色，則存在紅色直角三角形；
若l₁、l₂上除P、Q外均無紅色點(diǎn)，則在l₁上任取異于P的兩點(diǎn)R、S，則R、S必著藍(lán)色，過R作l₁的垂線交l₂于T，則T必著藍(lán)色．△RST即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形．
設(shè)直角三角形ABC三頂點(diǎn)同色（∠B為直角），把△ABC補(bǔ)成矩形ABCD（如圖），把矩形的每邊都分成n等分（n為正奇數(shù)，n＞1，本題中取n=1995），連接對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn)，把矩形ABCD分成n²個(gè)小矩形．
AB邊上的分點(diǎn)共有n+1個(gè)，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色，（否則任兩個(gè)相鄰分點(diǎn)異色，則可得A、B異色），不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E、F同色．
考察E、F所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E′、F′，若E′、F′異色，則△EFE′或△DFF′為三個(gè)頂點(diǎn)同色的小直角三角形．若E′、F′同色，再考察以此二點(diǎn)為頂點(diǎn)而在其左邊的小矩形，…．這樣依次考察過去，不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色．
同樣，BC邊上也存在兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)同色，設(shè)為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，
同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)異色，則存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形，否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)都同色．
現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，△MNH為頂點(diǎn)同色的直角三角形．
由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比為1995，且這兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)分別同色．
法二：以任一點(diǎn)O為圓心，a及1995a為半徑作兩個(gè)同心圓，在小圓上任取9點(diǎn)，必有5點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A′，B′，C′，D′，E′，則此五點(diǎn)中必存在三點(diǎn)同色，設(shè)為A′、B′、C′．則△ABC與△A′B′C′為滿足要求的三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽屜原理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題