Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m。
(1)若y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)a=0時(shí)，若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)=g(x₂)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若函數(shù)y=f(x)（x∈[t，4]）的值域?yàn)閰^(qū)間D，是否存在常數(shù)t，使區(qū)間D的長(zhǎng)度為7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（注：區(qū)間[p，q]的長(zhǎng)度為q-p）

Answer 1

解：(1)：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²-4x+a+3的對(duì)稱軸是x=2，所以f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，
則必有：即，解得，
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-8，0] ；
(2)若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)=g(x₂)成立，
只需函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)的值域的子集。
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域?yàn)閇-1，3]，下求g(x)=mx+5-2m的值域。
①當(dāng)m=0時(shí)，g(x)=5-2m為常數(shù)，不符合題意舍去；
②當(dāng)m＞0時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇5-m，5+2m]，
要使[-1，3] [5-m，5+2m]，需，解得m≥6；
③當(dāng)m＜0時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇5+2m，5-m]，
要使[-1，3] [5+2m，5-m]，需，解得m≤-3；
綜上，m的取值范圍為。
(3)由題意知，可得
①當(dāng)t≤0時(shí)，在區(qū)間[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，
所以f(t)-f(2)=7-2t，即t²-2t-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；
②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，在區(qū)間[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，
所以f(4)-f(2)=7-2t即4=7-2t，解得t=；
③當(dāng)2＜t＜時(shí)，在區(qū)間[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，
所以f(4)-f(t)=7-2t即t²-6t+7=0，解得t=（舍去）；
綜上所述，存在常數(shù)t滿足題意，t=-1或。