Question

13．正方體的全面積為a，它的頂點都在球面上，則這個球的表面積是$\frac{πa}{2}$，體積是$\frac{2\sqrt{2a}}{24}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方體的棱長為x，由已知列式求得x值，再由正方體的體對角線長的平方等于棱長的平方的3倍求得正方體的體對角線長，得到正方體的外接球的半徑，則答案可求．

解答 解：設(shè)正方體的棱長為x，則6x²=a，${x}^{2}=\frac{a}{6}$，
則正方體的體對角線l=$\sqrt{3{x}^{2}}=\sqrt{\frac{a}{2}}$=$\frac{\sqrt{2a}}{2}$．
∴正方體的外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{2a}}{4}$．
則球的表面積是$4π{R}^{2}=4π•（\frac{\sqrt{2a}}{4}）^{2}=\frac{πa}{2}$；
體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{2a}}{4}）^{3}=\frac{a\sqrt{2a}}{24}$．
故答案為：$\frac{πa}{2}$；$\frac{a\sqrt{2a}}{24}$．

點評 本題考查球的表面積與體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，明確正方體的體對角線長是其外接球的直徑是關(guān)鍵，是中檔題．