Question

（2006•浦東新區(qū)一模）（1）若等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=3•2ⁿ+a，求實數(shù)a的值；
（2）對于非常數(shù)列{a_n}有下面的結(jié)論：若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則該數(shù)列的前n項和為S_n=Aa_n+B（A，B為常數(shù)）．判斷它的逆命題是真命題還是假命題，并說明理由．
（3）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則該數(shù)列的前n項和為Sn=

n(a1+an)

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．對其逆命題進(jìn)行研究，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）令n=1，得到S₁=a₁，求出首項a₁的值，然后根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，得出通項公式，把a(bǔ)₁的值代入即可求出a的值；
（2）寫出已知命題的逆命題，判斷得到其逆命題為假命題，可以舉一個反例來說明；
（3）寫出已知命題的逆命題，判斷得到其逆命題為真命題，可以利用數(shù)學(xué)歸納法來證明，令n=3，代入已知的S_n中，得到2a₂=a₁+a₃，可得此數(shù)列為等差數(shù)列，然后設(shè)n=k時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，推理得到n=k+1時，數(shù)列也為等差數(shù)列，故此命題為真命題．

解答：解：（1）a₁=6+a，（1分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3•2ⁿ-3•2^n-1=3•2^n-1（2分），
因為數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，所以a₁滿足a_n的表達(dá)式，即6+a=3•2⁰，a=-3；（4分）
（2）逆命題：數(shù)列{a_n}是非常數(shù)數(shù)列，若其前n項和S_n=Aa_n+B（A，B為常數(shù)），則該數(shù)列是等比數(shù)列
判斷：是假命題． （7分）
直接舉反例，當(dāng)A=0，B≠0時，數(shù)列{a_n}為：B，0，0，0，
故其前n項和滿足S_n=Aa_n+B（A，B為常數(shù)），但不是等比數(shù)列；（10分）
（3）逆命題：若數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

n(a1+an)

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，則該數(shù)列是等差數(shù)列．
為真命題． （12分）
證明：n=3時，由2（a₁+a₂+a₃）=3a₁+3a₃⇒2a₂=a₁+a₃，命題成立，（13分）
假設(shè)n=k，（k≥3），Sk=

k(a1+ak)

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時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
當(dāng)n=k+1時，2（S_k+a_k+1）=（k+1）（a₁+a_k+1），設(shè)a_k=a₁+（k-1）d
則（k-1）a_k+1=（k-1）（a₁+kd）…（16分）a_k+1=a₁+kd，即當(dāng)n=k+1時，命題成立，（17分）
由數(shù)學(xué)歸納法可知，逆命題成立．（18分）

點評：此題考查了等比、等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的遞推式，命題與逆命題的關(guān)系，以及數(shù)學(xué)歸納法的運用，要說明一個命題為假命題，只需舉一個反例即可，要證明一個命題為真命題需要嚴(yán)格的證明．