Question

已知函數(shù)f(x)=

x-a

(x-a)2+4

，
（1）討論f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時(shí)，求f（x）在[-c，c]（c＞0，c是常數(shù)）上的值域．

Answer 1

分析：（1）分類討論，利用函數(shù)奇偶性的定義，可得結(jié)論；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，可得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=

x

x2+4

，∴f(-x)=

-x

(-x)2+4

=

-x

x2+4

=-f(x)，故f（x）為奇函數(shù)．（2分）．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0，f(-a)=

-a

2a2+2

≠0，∴f（-a）≠f（a），且f（-a）≠-f（a），
故f（x）為非奇非偶函數(shù)．（4分）．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=

x

x2+4

為奇函數(shù)，f′(x)=

4-x2

(x2+4)2

=

(2-x)(2+x)

(x2+4)2

，令f'（x）=0，得x=±2．
當(dāng)x變化時(shí)f'（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

又當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
故f（x）（x∈R）的最大值為f(2)=

1

4

；f（x）（x∈R）的最小值為f(-2)=-

1

4

．（8分）．
由上可知當(dāng)x∈[-c，c]（c＞0）時(shí)，
（1）若0＜c≤2，則f（x）在[-c，c]（c＞0）上單調(diào)遞增，所以f（x）的值域?yàn)?span id="9elhx9p" class="MathJye">[-

c

c2+4

，

c

c2+4

](c＞0)（10分）．
（2）若c＞2，則f（x）在[-c，-2]上單調(diào)遞減，在[-2，2]上單調(diào)遞增，在[2，c]上單調(diào)遞減，所以f（x）的值域?yàn)?span id="xs6oky4" class="MathJye">[-

1

4

，

1

4

]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．