Question

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證△ABC為等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)A，B，C成等差數(shù)列和三角形內(nèi)角和氣的B的值，進(jìn)而根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知b²=ac代入余弦定理求得a²+c²-ac=ac，整理求得a=c，判斷出A=C，最后利用三角形內(nèi)角和氣的A和C，最后證明原式．
解答：解：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B=A+C（1）
因?yàn)锳，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以A+B+C=π．
由（1）（2）得B=．（3）
由a，b，c成等比數(shù)列，有b²=ac（4）
由余弦定理及（3），可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac
再由（4），得a²+c²-ac=ac，
即（a-c）²=0
因此a=c
從而A=C（5）
由（2）（3）（5），得A=B=C=
所以△ABC為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，三角形形狀的判斷，余弦定理的應(yīng)用．三角形問題與數(shù)列，函數(shù)，不等式的綜合題，是考試中常涉及的問題，注重了對(duì)學(xué)生的雙基能力的考查．