已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過橢圓的右焦點，傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求線段AB的長；
（3）如圖，過原點相互垂直的兩條直線與橢圓的四個交點構(gòu)成四邊形PRSQ，設(shè)直線PS的傾斜角為，試問：△PSQ能否為正三角形，若能求θ的值，若不能，說明理由．

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可知焦點到長軸的兩個端點的距離分別為a+c和a-c，再把所給數(shù)值代入，即可得出a，b的值，求出橢圓的方程．
（2）利用弦長公式計算即可，注意設(shè)而不求思想的運用．
（3）先假設(shè)：△PSQ能為正三角形，設(shè)直線PS的方程，則直線RQ的方程也可知，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出PS與OQ的長度，再根據(jù)正三角形中的關(guān)系判斷即可．
解答：解：（1）由題意得，解得
所求的方程為
（2）直線方程為，
代入橢圓方程得，所以，
由弦長公式求得．
（3）當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時，△PSQ不是正三角形． 
當(dāng)P不在y軸上時，設(shè)直線PS的斜率為k，P（x1，kx1），則直線RQ的斜率為，
由得（1），同理（2）
由△PSQ為正三角形，得，即3|OP|2=|OQ|2
所以，化簡得，
，即．
所以△OPQ不是正三角形．
點評：本題主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，以及韋達(dá)定理在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系判斷中的應(yīng)用
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已知橢圓C： （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F2，交橢圓于點A、B．
（�。┤魸M足（O為坐標(biāo)原點），求△AOB的面積；
（ⅱ）當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設(shè)過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆甘肅武威六中高二12月學(xué)段檢測文科數(shù)學(xué)試題（解析版） 題型：解答題

（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個頂點為A（2,0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M、N.

 ①求橢圓C的方程.

 ②當(dāng)⊿AMN的面積為時，求k的值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省高三第七次月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F1PF2的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F1F2。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點C(，0)求實數(shù)k的取值范圍。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型：選擇題

已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與橢圓C相交于A、B兩點，若。則 （    ） 

（A）1     （B）2      （C）      （D）

 

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