Question

已知函數(shù)f（x）=3ax²+6x-1，（a∈R），若?x∈R，不等式f（x）≤4x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先對(duì)a進(jìn)行討論，當(dāng)a=0時(shí)，不等式為不恒成立．當(dāng)a≠0時(shí)，利用不等式恒成立的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求解．

解答： 解：∵f（x）=3ax²+6x-1，（a∈R），若?x∈R，不等式f（x）≤4x恒成立，
∴3ax²+6x-1≤4x，?x∈R，不等式恒成立，
∴3ax²+2x-1≤0，?x∈R，不等式恒成立，
①若a=0，則原不等式等價(jià)為2x-1≤0，此時(shí)不等式不恒成立，所以a≠0．
②若a≠0，則要使不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
則有

a＜0 △≤0

，即

a＜0 4+12a≤0

，解得 a≤-

1

3

．
綜上滿足不等式ax²-ax+2＞0在R上恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍a≤-

1

3

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故答案為：a≤-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式恒成立問題．對(duì)于在R上一元二次不等式恒成立的問題，要轉(zhuǎn)化為拋物線開口方向和判別式來判斷．