Question

已知等比數列{a_n}中，a₂=32，，a_n+1＜a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求T_n的最大值及相應的n值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等比數列的性質可知第八項與第二項的比值等于公比的六次方，利用已知即可求出公比的值，然后根據第二項的值與求出公比的值求出首項，根據首項和公比寫出等比數列的通項公式即可；
（2）設b_n=log₂a_n，把第一問求出的通項公式代入即可得到b_n的通項公式，從而根據通項公式得到b_n為等差數列，根據首項和公差，根據等差數量的前n項和的公式得到T_n的通項，利用二次函數求最值的方法即可得到T_n的最大值及相應的n值．
解答：解：（1），a_n+1＜a_n，
所以：．
以為首項．
所以，通項公式為：．
（2）設b_n=log₂a_n，則b_n=log₂2^7-n=7-n．
所以{b_n}是首項為6，公差為-1的等差數列．
=．
因為n是自然數，所以n=6或n=7時，T_n最大，其最值是T₆=T₇=21
點評：此題考查學生靈活運用等比數列的通項公式及等差數列的前n項和的公式化簡求值，掌握等比數列的性質及二次函數求最值的方法，是一道綜合題．