Question

已知如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2AA₁=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，點(diǎn)F為CD₁的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐D₁-ADC的體積；
（2）當(dāng)AE為多長(zhǎng)時(shí)，EF∥平面DA₁D₁？并證明你的結(jié)論；
（3）求證：A₁D⊥D₁E．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得DD₁⊥ABCD，S_△ADC，及三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；
（2）當(dāng)AE=1時(shí)，即為相等AB的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面DA₁D₁． 取CD的中點(diǎn)G，連接FG，EG，利用三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)即可得出FG∥D₁D，EG∥AD，再利用線面平行的判定定理即可得出；
（3）由正方形ADD₁A₁得A₁D⊥AD₁，又AB⊥A₁D即可證明A₁D⊥對(duì)角面ABC₁D₁．
解答：解：（1）因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁為長(zhǎng)方體，
所以DD₁⊥ABCD，，
所以=．             
（2）當(dāng)AE=1時(shí)，EF∥平面DA₁D₁．      
證明如下：
取CD的中點(diǎn)G，連接FG，EG，則FG∥D₁D，EG∥AD，
又因?yàn)镋G∩FG=G，所以平面EFG∥平面DA₁D₁，
因?yàn)镋F?平面EFG，所以EF∥平面DA₁D₁．      
（3）因?yàn)锳BCD-A₁B₁C₁D₁為長(zhǎng)方體，所以AB⊥ADD₁A₁，
又因?yàn)锳₁D?平面ADD₁A₁，所以AB⊥A₁D．        
因?yàn)锽C=AA₁，所以四邊形A₁ADD₁為正方形，所以A₁D⊥AD₁．
又因?yàn)锳B∩AD₁=A，所以A₁D⊥平面ABC₁D₁；
又因?yàn)镈₁E?平面ABC₁D₁，所以A₁D⊥D₁E．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了長(zhǎng)方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面與面面平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、平行四邊形及正方形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．