Question

我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M：函數(shù)y=f（x）（x∈D），對任意均滿足，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立．
（1）若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）∈M，試比較f（3）+f（5）與2f（4）大小．
（2）給定兩個(gè)函數(shù)：，f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）．證明：f₁（x）∉M，f₂（x）∈M．
（3）試?yán)�用�?）的結(jié)論解決下列問題：若實(shí)數(shù)m、n滿足2^m+2ⁿ=1，求m+n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意中所給的定義直接判斷f（3）+f（5）與2f（4）大小即可；
（2）對于函數(shù)f₁（x）∉M可通過舉兩個(gè)反例，說明其不符合所給的定義可取x=1，y=2，對于f₂（x）∈M可按定義規(guī)則進(jìn)行證明，任取x，y∈R⁺，求出利用基本不等式，得到，即可證明出結(jié)論；
（3）參照（2）的方法，利用所給的定義及基本不等式作出變化，再判斷即可得出所求的最值
解答：解：（1），即f（3）+f（5）≤2f（4）
但3≠5，所以f（3）+f（5）＜2f（4）
（若答案寫成f（3）+f（5）≤2f（4），扣一分）                        （4分）
（2）①對于，取x=1，y=2，則


所以，f₁（x）∉M．（6分）
②對于f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）任取x，y∈R⁺，則
∵，而函數(shù)f₂（x）=log_ax（a＞1，x＞0）是增函數(shù)
∴，即
則，即f₂（x）∈M．（10分）
（3）設(shè)x=2^m，y=2ⁿ，則m=log₂x，n=log₂y，且m+n=1．
由（2）知：函數(shù)g（x）=log₂x滿足，
得，即，則m+n≤-2（14分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=y，即，即m=n=-1時(shí)，m+n有最大值為-2．（16分）
點(diǎn)評：本題考查不等式的綜合題，考查了比較大小，基本不等式求最值的運(yùn)用，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵是理解定義及基本不等式的運(yùn)用規(guī)則，本題考查了理解能力及判斷推理的能力，考查了轉(zhuǎn)化的思想，本題綜合性強(qiáng)，注意總結(jié)本題的做題的規(guī)律