Question

函數(shù)被稱(chēng)為“耐克函數(shù)”．已知“耐克函數(shù)”的圖象為雙曲線(xiàn)，那么該雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ）
A．2
B．2
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：作出“耐克函數(shù)”的圖象如圖，結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，得雙曲線(xiàn)的實(shí)軸在直線(xiàn)y=x與x=0所成角的平分線(xiàn)上，如函數(shù)圖象截直線(xiàn)而得的線(xiàn)段AB．利用三角函數(shù)公式算出直線(xiàn)的方程，再由直線(xiàn)方程與函數(shù)聯(lián)解，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到該雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)．
解答：解：作出“耐克函數(shù)”的圖象如圖，可得
該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為直線(xiàn)y=x和x=0
根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，得雙曲線(xiàn)的實(shí)軸在直線(xiàn)y=x與x=0所成角的平分線(xiàn)上，
且為角平分線(xiàn)被“耐克函數(shù)”截得的線(xiàn)段AB．
設(shè)實(shí)軸實(shí)軸所在直線(xiàn)為y=kx，其中k=tan67.5°
∵tan135°=tan（2×67.5°）=-1
∴由二倍角的正切公式，得=-1
解之得tan67.5°=+1
∴實(shí)軸所在直線(xiàn)為y=（+1）x，
由消去y，整理得x²=，代入得y²=（+1）²=+2
因此直線(xiàn)y=（+1）x交曲線(xiàn)于點(diǎn)A（x₁，y₁）和點(diǎn)B（x₂，y₂），
滿(mǎn)足x₁²=x₂²=，y₁²=y₂²=+2
∴|OA|=|OB|==，可得實(shí)軸為|AB|=2
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出“耐克函數(shù)”圖象對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)，求該雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，著重考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)和雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．