Question

函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，且f（x）在x=x₀與x=2處取得極值，
則f（1）+f（-1）的值一定（　　）

A．等于0

B．大于0

C．小于0

D．小于或等于0

Answer 1

分析：由函數(shù)圖象可得三方面信息，①函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)為0，即f（0）=0，②函數(shù)的極值點(diǎn)有兩個(gè)，即方程f′（x）=0有兩個(gè)根x₀，2，且兩根之和小于零，③函數(shù)f（x）在（x₀，2）上為減函數(shù)，即不等式f′（x）＜0的解集為（x₀，2），分別將這三方面信息反映到系數(shù)abc上，即可判斷f（1）+f（-1）=（a+b+c）+（-a+b-c）=2b的符號(hào)

解答：解：由函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象可以看出，①：f（0）=0，∴d=0
②：方程f′（x）=3ax²+2bx+c=0有一正一負(fù)根，且兩根之和小于零，即

c

3a

＜0，且-

2b

6a

＜0，∴ac＜0，ab＞0
③函數(shù)f（x）在（x₀，2）上為減函數(shù)，∴不等式f′（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集為（x₀，2），∴a＞0
∴b＞0
∵f（1）+f（-1）=（a+b+c）+（-a+b-c）=2b
∴f（1）+f（-1）的值一定大于0
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)方程不等式的思想，考察了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值與單調(diào)性中的應(yīng)用，考察了利用圖象分析函數(shù)性質(zhì)的能力