Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；
（2）求f（x）的定義域、值域．

Answer 1

分析：（1）由原函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等0，我們易出函數(shù)的極值點(diǎn)，將區(qū)間分割后，分別討論各子區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）讓函數(shù)的解析式有意義，可以求出函數(shù)的定義域；根據(jù)（1）的結(jié)論，先求出f（x）在（0，+∞）上的值域，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性，易得到f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=x+

1

x

．
∴f'（x）=1-

1

x2

．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0恒成立
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0恒成立
故函數(shù)f（x）在（0，1]單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)遞增；
（2）要使函數(shù)的解析式有意義，自變量x須滿足x≠0
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由（1）知函數(shù)有最小值2
又∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)有最大值2
綜上函數(shù)的值域?yàn)椋海?∞，-2）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重要類型，望大家熟練掌握．