Question

對定義域是D_f，D_g的函數(shù)y=f（x），y=g（x），
規(guī)定：函數(shù)h（x）=．
（1）若函數(shù)f（x）=，g（x）=x₂，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

Answer 1

解：
（1）h（x）=．
（2）當x≠1時，h（x）==x﹣1++2，
若x＞1時，則h（x）≧4，其中等號當x=2時成立
若x＜1時，則h（x）≦0，其中等號當x=0時成立
∴函數(shù)h（x）的值域是（﹣∞，0]∪{1}∪[4，+?）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=
則g（x）=f（x+α）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x﹣sin2x，
于是h（x）=f（x）f（x+α）=（sin2x+co2sx）（cos2x﹣sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+sin2x，α=，g（x）=f（x+α）=1+sin2（x+π）=1﹣sin2x，
于是h（x）=f（x）f（x+α）=（1+sin2x）（1﹣sin2x）=cos4x．