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7.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx,且函數(shù)y=f(x)-32x2在x=1和x=2處取得極值
(1)求a,b的值
(2)設(shè)g(x)=x(lnx-1),若對任意x1∈R,存在x2∈(0,+∞),使f′(x1)-g′(x2)=1,則x22-x12是否存在最小值?若存在,求出最小值,若不存在,請說明理由.

分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),得到關(guān)于a,b的方程組,求出a,b的值,檢驗即可;
(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出x22-x12=x22-lnx2+1,令h(x)=x2-lnx+1(x≥e),求出h(x)的最小值,從而求出答案即可.

解答 解:(1)由已知y=f(x)--32x2=ax3-32x2+bx,
得y′=3ax2-3x+b,
由題意得{3a3+b=012a6+b=0,解得a=13,b=2,
經(jīng)檢驗,所求a,b滿足題意;
(2)由(1)得f(x)=13x3+2x,f′(x)=x2+2,
又g′(x)=lnx,由f′(x1)-g′(x2)=1得x12+2-lnx2=1,
x12+1=lnx2,
由于x12+1=lnx2⇒lnx2≥1⇒x2≥e,
那么x22-x12=x22-lnx2+1,
令h(x)=x2-lnx+1(x≥e),
則h′(x)=2x21x>0,
∴函數(shù)h(x)在[e,+∞)遞增,
于是h(x)min=h(e)=e2
x22-x12是存在最小值為e2

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)極值的意義,考查轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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