Question

10．一艘海監(jiān)船在某海域?qū)嵤┭埠奖O(jiān)視，由A島向正北方向行駛80海里至M處，然后沿東偏南30°方向行駛50海里至N處，再沿南偏東30°方向行駛30$\sqrt{3}$海里至B島，則A，B兩島之間距離是70海里．

Answer 1

分析 首先作出輔助線連接AN構(gòu)造出三角形，然后在△AMN中連續(xù)兩次運(yùn)用余弦定理可得出AN和cos∠MAN的值，再由cos∠ANB=cos（30°+∠MAN）即可得出其余弦值，最后在△ANB中運(yùn)用余弦定理即可得出所求的結(jié)果．

解答 解：連接AN，則在△AMN中，應(yīng)用余弦定理可得AN=$\sqrt{8{0}^{2}+5{0}^{2}-2×80×50×\frac{1}{2}}$=70，
∴cos∠MAN=$\frac{6400+4900-2500}{2×80×70}$=$\frac{11}{14}$
∴cos∠ANB=cos（30°+∠MAN）=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$
∴AB=$\sqrt{4900+2700-2×70×30\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{3}}{14}}$=70，
故答案為70．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用、兩角差的余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬中檔題．