Question

（2010•廣東模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=AB=2BC=2，M，N分別為PC，PB的中點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積V；（2）求證：PB⊥DM；（3）求截面ADMN的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA=AD=AB=2BC=2，可求出底面ABCD的面積，由PA垂直于底面ABCD，可得PA即為棱錐的高，代入棱錐體積公式，可得答案．
（2）由PA=AB，N為PB中點，可得AN⊥PB，由A點三棱相互垂直，可得AD⊥平面PAB，進而AD⊥PB，結合線面垂直的判定定理可得PB⊥平面ANMD，進而得到PB⊥DM；
（3）由已知及（2）中結論，可得截面ADMN為直角梯形，求出上下底及高，代入梯形面積公式，可得答案．

解答：（1）解：由AD=AB=2BC=2，得底面直角梯形ABCD的面積
S=

BC+AD

2

×AB=3，
由PA⊥底面ABCD，得四棱錐P-ABCD的高h=PA=2，
所以四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

Sh=

1

3

×3×2=2．       …（4分）
（2）證明：因為N是PB的中點，PA=PB，所以AN⊥PB．   …（5分）

由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AD，…（6分）
又∠BAD=90°，即BA⊥AD，
∴AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，…（8分）
∴PB⊥平面ADMN，
∴PB⊥DM．                      …（10分）
（3）由M，N分別為PC，PB的中點，得MN∥BC，且MN=

1

2

BC=

1

2

，
又AD∥BC，故MN∥AD，
由（2）得AD⊥平面PAB，又AN?平面PAB，故AD⊥AN，
∴四邊形ADMN是直角梯形，
在Rt△PAB中，PB=

PA2+AB2

=2

2

，
AN=

1

2

PB=

2

，
∴截面ADMN的面積S=

1

2

（MN+AD）×AN=

5 2

4

．  …（14分）

點評：本題考查的知識點是空間中直線與直線之間的位置關系，棱錐的體積，（1）的關鍵是計算出棱錐的底面面積及高，（2）的關鍵是證明 得PB⊥平面ANMD，（3）的關鍵是判斷出截面的形狀．