Question

已知曲線y=xlnx（x＞）在點（t，tlnt）處的切線l交x軸于點A，交y軸于點B，△AOB（O為坐標(biāo)原點）的面積為S，
（Ⅰ）試寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求面積S的最小值；
（Ⅲ）若對于t＞恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）曲線在點（t，tlnt）處的切線斜率為y′=1+lnt，
設(shè) A（m，0），B（0，n），
則，解得，
所以，
注意到時，1+lnt＞0，
故為所求；
（Ⅱ）記，則S′=g′（t）=，
，
∴時，S′＜0；時，S′＞0，
即函數(shù)S=g（t）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
所以面積S的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取到；
（Ⅲ）由，及1+lnt＞0得，對t＞恒成立，
記u（t）=，則u′（t）=，
當(dāng)，即a＜0或a≥e時，u′（t）＞0恒成立，
此時u（t）在上單調(diào)遞增，
∴，解得a＜0或a≥2e²+2e，
當(dāng)，即0＜a＜e時，u′（t）＞0，
所以函數(shù)u（t）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時，
∴，此方程無解；
綜上，a＜0或a≥2e²+2e為所求。