Question

已知拋物線y=x²+2x+b（x∈R）與坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三點的圓記為M．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸的交點從左到右分別為A、B，與y軸的交點為C，求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線l是拋物線在點A處的切線，試判斷直線l是否也是圓M的切線？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對實數(shù)b分等0和不等0兩種情況討論，再把與坐標(biāo)軸有三個交點，轉(zhuǎn)化為與x軸有兩個不同的交點問題，利用判別式大于0即可求出實數(shù)b的取值范圍；
（2）先讓x=0求出點C的坐標(biāo)，再令y=0求出對應(yīng)方程的根即可求出點A、B的坐標(biāo)；
（3）先求出圓M的方程以及直線l是的斜率，利用相切對應(yīng)的斜率相乘為-1，解出實數(shù)b再與第一問相結(jié)合即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵拋物線與坐標(biāo)軸有三個交點
∴b≠0，否則拋物線與坐標(biāo)軸只有兩個交點，與題設(shè)不符，
由b≠0知，拋物線與y軸有一個非原點的交點（0，b），
故拋物線與x軸有兩個不同的交點，即方程x²+2x+b=0有兩個不同的實根
∴△=4-4b＞0即b＜1
∴b的取值范圍是b＜0或0＜b＜（13分）
（2）令x=0得y=b，
∴C（0，b）（4分）
令y=0得x²+2x+b=0解得
∴，（6分）
（3）∵y=x²+2x+b
∴y'=2x+2
∴直線l的斜率（7分）
設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵圓M過，，C（0，b）
∴
解得（10分）
∴圓心（11分）
∴，若直線l也是圓M的切線，
則k_l•k_MA=-1即⇒1+b=1解得b=0
這與b＜0或0＜b＜1矛盾（13分）
∴直線l不可能是圓M的切線．（14分）
點評：當(dāng)一個拋物線開口向上或向下時，與坐標(biāo)軸的交點問題就轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題．而一個函數(shù)與y軸最多有一個交點，就把問題簡單化了．