Question

7．已知a，b∈R，且a²+ab+b²=6，設(shè)a²-ab+b²的最大值和最小值分別為M，m，則M-m的值為16．

Answer 1

分析 令t=a²-ab+b²，由a²+ab+b²=6可得a²+b²=6-ab，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)，進(jìn)而可得ab-6≤2ab≤6-ab，解可得ab的范圍，又由a²+b²=6-ab，則t可變形為6-2ab，由ab的范圍，可得M、m的值，代入可得答案．

解答 解：令t=a²-ab+b²，
由a²+ab+b²=6，可得a²+b²=6-ab，
由基本不等式的性質(zhì)，-（a²+b²）≤2ab≤a²+b²，
進(jìn)而可得：ab-6≤2ab≤6-ab，
解得，-6≤ab≤2，
∴t=a²-ab+b²=6-ab-ab=6-2ab，
故：2≤t≤18，
則M=18，m=2，
M-m=16，
故答案為：16．

點評 本題考查基本不等式的性質(zhì)與運用，正確運用公式要求“一正、二定、三相等”，解題時要注意把握和或積為定值這一條件．