Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）求三棱錐E-PAD的體積；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）求出三棱錐E-PAD的高為1，運用體積公式求解即可，（2）轉(zhuǎn)化證明AF⊥面PBC，即可得證PE⊥AF．

解答： 解：（1）∵底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，點E在邊BC上移動．
∴三棱錐E-PAD的高為1
∴三棱錐E-PAD的體積=

1

3

×

1

2

×AD×AP×AB=

1

3

×

1

2

×

3

×1×1=

3

6

，

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴BC⊥面PAB，
∵AF?面PAB，
∴BC⊥AF，
∵點F是PB的中點，PA=AB=1，
∴AF⊥PB，
∵PB∩BC=B
∴AF⊥面PBC，
∵PE?面PBC，
∴PE⊥AF．

點評：本題考查了空間幾何體的體積計算，幾何體中的直線，平面的垂直問題，屬于中檔題．