Question

P為直線x-y+3=0上任一點(diǎn)，一橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），則橢圓過P點(diǎn)且長(zhǎng)軸最短時(shí)的方程為

 

．

Answer 1

分析：要使橢圓長(zhǎng)軸最短則橢圓與直線l相切，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式等于0求得a，則橢圓方程可得．

解答：解：要使橢圓長(zhǎng)軸最短
則橢圓與直線l相切
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=1
則

y=x+3 x2 a2 + y2 a2-1 =1

化簡(jiǎn)得（2a²-1）x²+6a²x+10a²-a?=0
∵相切
∴△=（6a²）²-4（2a²-1）（10a²-a?）=0
解得a²=1或a²=5
∵a²＞0  a²-1＞o
∴a²=5
∴橢圓的方程為

x2

5

+

y2

4

=1
故答案為

x2

5

+

y2

4

=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解題時(shí)采用了數(shù)形結(jié)合的方法使問題得到了較快解決．