Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0），直線y=與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)₁、F₂為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F₁F₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點A、B，且線段AB的垂直平分線l′過定點Q（，0），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心為I，結合三角形的面積公式，直線y=與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，求出幾何量，即可求出橢圓的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，確定線段AB的中點R的坐標，利用線段AB的垂直平分線l′過定點Q（，0），可得不等式，從而可求實數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（1）設P（x，y）（y≠0），則G（）
設I（x_I，y_I），則∵IG∥F₁F₂，∴
∵|F₁F₂|=2c，∴=|F₁F₂||y|=（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•
∴2c•3=2a+2c
∴
∵直線y=與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切
∴
∴b=
∴a=2
∴橢圓的方程為；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線方程代入橢圓方程可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，可得m²＜4k²+3
∵x₁+x₂=
∴y₁+y₂=
∴線段AB的中點R的坐標為（，）
∵線段AB的垂直平分線l′的方程為，R在直線l′上，
∴
∴m=
∴
∴
∴或．
點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓，直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．