Question

定義：對(duì)于任意n∈N^*，滿足條件且a_n≤M（M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）的無(wú)窮數(shù)列a_n稱為T數(shù)列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），證明：數(shù)列a_n是T數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列b_n的通項(xiàng)為，且數(shù)列b_n是T數(shù)列，求常數(shù)M的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列（n∈N^*，p＞1），問(wèn)數(shù)列b_n是否是T數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2，所以數(shù)列a_n滿足．由此能夠證明數(shù)列a_n是T數(shù)列．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185151104643947/SYS201310241851511046439018_DA/1.png">，所以當(dāng)即n≤11時(shí)，b_n+1-b_n＞0，此時(shí)數(shù)列b_n單調(diào)遞增．當(dāng)n≥12時(shí)，b_n+1-b_n＜0，此時(shí)數(shù)列b_n單調(diào)遞減；故數(shù)列b_n的最大項(xiàng)是b₁₂，由此能求出M的取值范圍．
（3）當(dāng)1＜p≤2時(shí)，對(duì)于n∈N^*有，所以當(dāng)時(shí)數(shù)列c_n是T數(shù)列；當(dāng)2＜p≤3時(shí)，數(shù)列c_n不是T數(shù)列．當(dāng)p＞3時(shí)，數(shù)列c_n不是T數(shù)列．
解答：解：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2
所以數(shù)列a_n滿足．（2分）
又，當(dāng)n=4或5時(shí)，a_n取得最大值20，即a_n≤20．
綜上，數(shù)列a_n是T數(shù)列．（4分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185151104643947/SYS201310241851511046439018_DA/7.png">，
所以當(dāng)即n≤11時(shí)，b_n+1-b_n＞0，此時(shí)數(shù)列b_n單調(diào)遞增（6分）
當(dāng)n≥12時(shí)，b_n+1-b_n＜0，此時(shí)數(shù)列b_n單調(diào)遞減；故數(shù)列b_n的最大項(xiàng)是b₁₂，
所以，M的取值范圍是（9分）
（3）①當(dāng)1＜p≤2時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，
由得，
即當(dāng)時(shí)符合條件．（11分）
若n≥2，則，此時(shí)
于是
又對(duì)于n∈N^*有，
所以當(dāng)時(shí)數(shù)列c_n是T數(shù)列；（13分）
②當(dāng)2＜p≤3時(shí)，
取n=1則：，
由，所以2＜p≤3時(shí)數(shù)列c_n不是T數(shù)列．（15分）
③當(dāng)p＞3時(shí)，
取n=1則，
由，所以p＞3時(shí)數(shù)列c_n不是T數(shù)列．（17分）
綜上：當(dāng)時(shí)數(shù)列c_n是T數(shù)列；當(dāng)時(shí)數(shù)列c_n不是T數(shù)列．（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．