Question

17．己知函數(shù)f（x）=（2a+2）lnx+2ax²+5，g（x）=$\frac{1}{2}$lnx-$\frac{1}{2{e}^{2}}$x
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a＞0時(shí)，對(duì)?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)a分類討論從而判斷f'（x）是否大于0即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）對(duì)?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立可轉(zhuǎn)化為：10+g（x）_max≤f（x）_min；

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f'（x）=$\frac{2a+2}{x}$+4ax=$\frac{2（2a{x}^{2}+a+1）}{x}$
當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)a≤-1時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，令f'（x）=0，解得x=$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$
即x∈$（0，\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}）$  時(shí)，f'（x）＞0；x∈$（\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}，+∞）$ 時(shí)，f'（x）＜0
故f（x）在 $（0，\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}）$ 單調(diào)遞增，在 $（\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}，+∞）$ 單調(diào)遞減；
（2）對(duì)?x₁，x₂∈[2，2e²]都有10+g（x₁）≤f（x₂）成立，可知
10+g（x）_max≤f（x）_min，
根據(jù)（1）可知f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，f（x）_min=f（2）=（2a+2）ln2+8a+5，
g（x）=$\frac{1}{2}lnx$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$ x，g'（x）=$\frac{1}{2x}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-x}{2x{e}^{2}}$，所以在[2，e²]為增函數(shù)，在[e²，2e²]為單調(diào)減函數(shù)，
g（x）_max=g（e²）=$\frac{1}{2}ln{e}^{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}×{e}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
（2a+2）ln2+8a+5≥$\frac{1}{2}$+10，
∴a≥$\frac{11-4ln2}{4ln2+16}$，
故所求的參數(shù)a的取值范圍為a≥$\frac{11-4ln2}{4ln2+16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極值與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬中等題．