Question

定義：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線C₁D₁的距離是點(diǎn)P到平面ABCD的距離的

1

2

倍，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線類型是（　　）

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

Answer 1

分析：利用新定義，結(jié)合長方體，將點(diǎn)P到直線C₁D₁的距離是點(diǎn)P到平面ABCD的距離的

1

2

倍，轉(zhuǎn)化為側(cè)面BCC₁B₁中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C₁的距離等于點(diǎn)P到直線BC距離的

1

2

倍，根據(jù)橢圓的定義，即可判斷．

解答：解：由題意，連接PC₁，過P作PE⊥BC
∵平面ABCD⊥平面BCC₁B₁，PE⊥BC，平面ABCD∩平面BCC₁B₁=BC
∴PE⊥平面ABCD
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，PC₁?平面BCC₁B₁，
∴PC₁⊥D₁C₁
∵點(diǎn)P到直線C₁D₁的距離是點(diǎn)P到平面ABCD的距離的

1

2

倍，
∴PC₁=

1

2

PE
即側(cè)面BCC₁B₁中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C₁的距離等于點(diǎn)P到直線BC距離的

1

2

倍，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線類型是橢圓
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，考查橢圓的定義，解題的關(guān)鍵是將已知條件轉(zhuǎn)化為側(cè)面BCC₁B₁中，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C₁的距離等于點(diǎn)P到直線BC距離的

1

2

倍．