Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若Sn=2an﹣3n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（Ⅱ）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】（I）證明：∵Sn=2an﹣3n，∴n=1時(shí)，a1=2a1﹣3，解得a1=3．
n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3（n﹣1）]，
化為：an=2an﹣1+3，變形為：an+3=2（an﹣1+3），∴數(shù)列{an+3}是等比數(shù)列，公比為2．
∴an+3=6×2n﹣1 ， 解得an=3×2n﹣3．
（II）解：nan=3n×2n﹣3n．
設(shè)數(shù)列{n×2n}的前n項(xiàng)和為An=2+2×22+3×23+…+n×2n ，
2An=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1 ，
∴﹣An=2+22+…+2n﹣n×2n+1= ﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，
∴An=（n﹣1）×2n+1+2．
∴數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn=6+（3n﹣3）×2n+1﹣3×
【解析】（I）Sn=2an﹣3n，n=1時(shí)，a1=2a1﹣3，解得a1 ． n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化為：an=2an﹣1+3，變形為：an+3=2（an﹣1+3），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（II）nan=3n×2n﹣3n．設(shè)數(shù)列{n×2n}的前n項(xiàng)和為An=2+2×22+3×23+…+n×2n ， 利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出An ， 再利用等差數(shù)列的求和公式進(jìn)而得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．