Question

定義域和值域均為[-a，a]（常數(shù)a＞0）的函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象如圖所示：
現(xiàn)有以下命題：
（1）方程f[g（x）]=0有且僅有三個解；
（2）方程g[f（x）]=0有且僅有三個解；
（3）方程g[g（x）]=0有且僅有一個解；
（4）方程f[f（x）]=0有且僅有九個解．
則其中正確的命題是

1. A.
   （1）（2）
2. B.
   （2）（3）
3. C.
   （1）（3）
4. D.
   （3）（4）

Answer 1

C
分析：通過f（x）=0有三個解，g（x）=0有一個解，具體分析（1），（2），（3），（4）推出正確結(jié)論．
解答：（1）方程f[g（x）]=0有且僅有三個解，等價于g（x）在[-a，a]上有三個不同值，
由于y=g（x）在[-a，a]上是減函數(shù)，所以方程f[g（x）]=0有且僅有三個解，故（1）正確；
（2）由于y=g（x）在[-a，a]上是減函數(shù)，f（x）=0有3個解，當f（x）∈（0，a）時，
方程g[f（x）]=0可能有一個解，可能有2個解，可能有3個解，故（2）不正確；
（3）由于y=g（x）在[-a，a]上是減函數(shù)，故當g（x）∈[-a，a]時，方程g[g（x）]=0有且僅有一個解．
故（3）正確．
（4）由于f（x）=0有3個解為：x₁＜x₂＜0＜x₃，若f（x）＜0，則方程f[f（x）]=0可得，f（x）=x₁，
或f（x）=x₂，而由f（x）的圖象可得，滿足f（x）=x₁ 的解有3個，滿足f（x）=x₂的解也有3個，
故方程f[f（x）]=0的解有6個．由此可得（4）不正確；
故選C．
點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力及識別圖象的能力，是基礎(chǔ)題．