Question

（05年遼寧卷）（12分）。

已知三棱錐Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分別是AC、AB的中點(diǎn)，

△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．

(Ⅰ)證明PC⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值；

(Ⅲ)若點(diǎn)Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ在一個(gè)表面積為12π的球面上，

求△ABC的邊長(zhǎng)．

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明：連結(jié)CF.

，

∴

，

∴平面，

，

∴

∴平面                                            ……4分

（Ⅱ）解法一：

∴為所求二面角的平面角.

設(shè)AB=a，則，

∴．                                ……8分

解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O.

≌，∴≌

得. 于是O是△ABC的中心.

∴為所求二面角的平面角.

設(shè)AB=a，則 

∴               ……8分

（Ⅲ）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R.，

∴，

，

∴，得，

∴.             ……12分

 

解法二：延長(zhǎng)PO交球面于D，那么PD是球的直徑.

連結(jié)OA、AD，可知△PAD為直角三角形.

設(shè)AB=x，球半徑為R.

，

∴

，，

∴,

，

∴.                        ……12分