Question

如圖，過(guò)拋物線C：y²=4x上一點(diǎn)P（1，-2）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與拋物線交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定，可得k_PA=，，利用k_PA=-k_PB，即可求得y₁+y₂的值；
（2）由（1）知，可得AB的方程，計(jì)算P到AB的距離，可得S_△PAB的面積，再利用換元法，構(gòu)造函數(shù)，即可求得S_△PAB的最大值．
解答：解：（1）因?yàn)锳（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線C：y²=4x上，
所以，k_PA=，
同理，依題有k_PA=-k_PB，
所以，所以y₁+y₂=4．   （4分）
（2）由（1）知，
設(shè)AB的方程為，即，P到AB的距離為，，
所以
==，（8分）
令y₁-2=t，由y₁+y₂=4，y₁≥0，y₂≥0，可知-2≤t≤2.，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124130699597473/SYS201310251241306995974023_DA/18.png">為偶函數(shù)，只考慮0≤t≤2的情況，
記f（t）=|t³-16t|=16t-t³，f′（t）=16-3t²＞0，故f（t）在[0，2]是單調(diào)增函數(shù)，
故f（t）的最大值為f（2）=24，
所以S_△PAB的最大值為6．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查換元法，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．