Question

19．若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=$\sqrt{3}$，a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$（[a_n]與{a_n}分別表示a_n的整數(shù)部分與小數(shù)部分），則a₂₀₁₆=（　�。�

• A． 3023+$\sqrt{3}$
• B． 3023+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． 3020+$\sqrt{3}$
• D． 3020+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 由已知求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列的項(xiàng)呈現(xiàn)的規(guī)律得答案．

解答 解：∵a_n+1=[a_n]+$\frac{1}{\{{a}_{n}\}}$，且a₁=$\sqrt{3}$=1+（$\sqrt{3}$-1），
∴a₂=[a₁]+$\frac{1}{\{{a}_{1}\}}$=1+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴a₃=2+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=4+（$\sqrt{3}$-1），
∴a₄=4+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=5+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴a₅=7+（$\sqrt{3}$-1），
∴a₆=8+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴a₇=10+（$\sqrt{3}$-1），
∴a₈=11+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴a₂₀₁₆=2016+1007+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=3023+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是由數(shù)列前幾項(xiàng)得到數(shù)列的規(guī)律，是中檔題．