在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高．P為三角形內(nèi)任一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa，pb，pc，我們可以得到結(jié)論：
pa
ha
+
pb
hb
+
pc
hc
=1試通過類比，寫出在空間中的類似結(jié)論
 
分析：本題是一道有關(guān)三角形與三棱錐的歸納類比題，這類題的特點是：往往并不需要證明結(jié)論，主要考查考生的創(chuàng)新精神，是否會觀察，會抽象概括，會用類比的方法得出新的一般性的結(jié)論．這類題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中，經(jīng)常以數(shù)列或解析幾何或立體幾何等知識為載體．
解答：解：設(shè)ha，hb，hc，hd三棱錐A-BCD四個面上的高．
P為三棱錐A-BCD內(nèi)任一點，
P到相應(yīng)四個面的距離分別為pa，pb，pc，pd
我們可以得到結(jié)論：
pa
ha
+
pb
hb
+
pc
hc
+
pd
hd
=1．
VP-ABC+VP-BCD+VP-CDA+VP-DAB=V，V=VD-ABC=VA-BCD=VB-CDA=VC-DAB，
即
VP-ABC
VD-ABC
+
VP-BCD
VA-BCD
+
VP-CDA
VB-CDA
+
VP-DAB
VC-DAB
=1，
1
3
SABC•pd
1
3
SABC•hd
+
1
3
SBCD•pa
1
3
SBCD•ha
+
1
3
SCDA•pb
1
3
SCDA•hb
+
1
3
SDAB•pc
1
3
SDABhc
=1，
即
pa
ha
+
pb
hb
+
pc
hc
+
pd
hd
=1．
故答案為：
pa
ha
+
pb
hb
+
pc
hc
+
pd
hd
=1．
點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中：
①函數(shù)f(x)=
1
lgx
在(0，+∞)是減函數(shù)；
②在平面上，到定點（2，-1）的距離與到定直線3x-4y-10=0距離相等的點的軌跡是拋物線；
③設(shè)函數(shù)f(x)=cos(
3
x+
π
6
)，則f（x）+f'（x）是奇函數(shù)；
④雙曲線
x2
25
-
y2
16
=1的一個焦點到漸近線的距離是5；
其中正確命題的序號是
③
③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

類比平面上的命題（m），給出在空間中的類似命題（n）的猜想．
（m）如果△ABC的三條邊BC，CA，AB上的高分別為ha，hb和hc，△ABC內(nèi)任意一點P到三條邊BC，CA，AB的距離分別為Pa，Pb，Pc，那么
pa
ha
+
pb
hb
+
pc
hc
=1．
（n）
設(shè)ha，hb，hc，hd為四面體S-ABC的四個面上的高，P為四面體內(nèi)的任一點，
P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，pd，那么
pa
ha
+
pb
hb
+
pc
hc
+
pd
hd
=1
設(shè)ha，hb，hc，hd為四面體S-ABC的四個面上的高，P為四面體內(nèi)的任一點，
P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，pd，那么
pa
ha
+
pb
hb
+
pc
hc
+
pd
hd
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年廣東省高考數(shù)學(xué)沖刺預(yù)測試卷01（理科）（解析版） 題型：解答題

在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高．P為三角形內(nèi)任一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa，pb，pc，我們可以得到結(jié)論：試通過類比，寫出在空間中的類似結(jié)論   

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

在平面上,設(shè)是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應(yīng)三邊的距離分別為,我們可以得到結(jié)論:  類比到空間中的四面體內(nèi)任一點p, 其中為四面體四個面上的高，為p點到四個面的距離，我們可以得到類似結(jié)論為           

 

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