Question

如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面,,為中點，底面是直角梯形，,，,．

(1) 求證：平面；

(2) 求證：平面平面；

(3) 設(shè)為棱上一點，,試確定的值使得二面角為．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)詳見試題解析；(3) ．

【解析】

試題分析：(1)轉(zhuǎn)化為線線平行：在平面內(nèi)找的平行線；或轉(zhuǎn)化為面面平行，經(jīng)過找與平面平行的平面；(2) 轉(zhuǎn)化為線面垂直，可先證明平面，再利用面面垂直的判定定理證得結(jié)果；(3)首先建立空間直角坐標系，利用空間向量求平面和平面的法向量，利用夾角公式列方程可求得的值．

試題解析：令中點為，連接，     １分

點分別是的中點，

,.

四邊形為平行四邊形.     ２分

,平面,

平面                 ３分

(三個條件少寫一個不得該步驟分)    

 　　　　        ４分

（2）在梯形中,過點作于,

在中，,.

又在中，,,

, 

. 　　　　　　     ５分

面面,面面,,面,

面, 　　　　　　　　　　　　　     ６分

,　                                    7分

,平面,平面

平面, 　　　　　　　　　　　　　     8分

平面,　　　　　　　　　　　　　

平面平面 　　　　　　　　　　     9分

(３)以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系．    １０分

則.

令，，

。

平面，

即平面的法向量

．　　　　　　　    １１分

設(shè)面的法向量為

則,即．

令，得．    １２分

二面角為，

，解得．    １３分

在上，，為所求．　　　　　　　　    １４分

考點：1、空間線面位置關(guān)系的證明；2、二面角的求法；3、空間向量的應(yīng)用．