Question

7．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．設(shè)M是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、P分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（$\frac{1}{2}$，x，y），且$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$≥18恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為4．

Answer 1

分析 先根據(jù)三棱錐的特點(diǎn)求出其體積，然后利用基本不等式求出$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$的最小值，建立關(guān)于a的不等關(guān)系，解之即可．

解答 解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×2×1=1=$\frac{1}{2}$+x+y
即x+y=$\frac{1}{2}$，則2x+2y=1
$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）（2x+2y）=2+2a+$\frac{2y}{x}$+$\frac{2ax}{y}$≥2+2a+4$\sqrt{a}$≥18
解得a≥4
∴正實(shí)數(shù)a的最小值為4
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了棱錐的體積，同時(shí)考查了基本不等式的運(yùn)用，是題意新穎的一道題目，屬于中檔題．