Question

(理)設(shè)x₁、x₂(x₁≠x₂)是函數(shù)f(x)=ax³+bx²-a²x(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)若x₁=-1,x₂=2,求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若|x₁|+|x₂|=,求b的最大值;

(3)若x₁＜x＜x₂,且x₂=a,函數(shù)g(x)=f′(x)-a(x-x₁),求證:|g(x)|≤a(3a+2)².

(文)如圖,N為圓x²+(y-2)²=4上的點(diǎn),OM為直徑,連結(jié)MN并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C,過(guò)C引直線(xiàn)垂直于x軸,且與弦ON的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D.

(1)已知點(diǎn)N(,1),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)N沿著圓周運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)D的軌跡E的方程;

(3)設(shè)P(0,a)(a＞0),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P交曲線(xiàn)E于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)H在射線(xiàn)QB上,且AH⊥PQ,求證:不論l繞點(diǎn)P怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),恒有.

Answer 1

答案：(理)解:f′(x)=3ax²+2bx-a²(a＞0).

(1)∵x₁=-1,x₂=2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),∴f′(-1)=0,f′(2)=0.∴3a-2b-a²=0,12a+4b-a²=0,解得a=6,b=-9.∴f(x)=6x³-9x²-36x.

(2)∵x₁、x₂是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),∴f′(x₁)=f′(x₂)=0.∴x₁、x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根.∵Δ=4b²+12a³,∴Δ＞0對(duì)一切a＞0,b∈R恒成立.x₁+x₂=,x₁+x₂=,∵a＞0,∴x₁·x₂＜0.∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=.

由|x₁|+|x₂|=22,得,∴b²=3a²(6-a).∵b²≥0,∴3a²(6-a)≥0.∴0＜a≤6.

令h(a)=3a²(6-a),則h′(a)=-9a²+36a.

當(dāng)0＜a＜4時(shí),h′(a)＞0,∴h(a)在(0,4)上是增函數(shù);

當(dāng)4＜a＜6時(shí),h′(a)＜0,∴h(a)在(4,6)上是減函數(shù).

∴當(dāng)a=4時(shí),h(a)有極大值為96.∴h(a)在(0,6]上的最大值是96.∴b的最大值是.

(3)∵x₁、x₂是方程f′(x)=0的兩根,∴f′(x)=3a(x-x₁)(x-x₂).

∴|g(x)|=3a|x-x₁|·|x-x₂-|≤3a².

∵x₁＜x＜x₂,∴x-x₁＞0,x-x₂＜0.∴|g(x)|≤[(x-x₁)-(x-x₂-)]²=(x₂-x₁+)².

∵x₁·x₂=,x₂=a,∴x₁=-.∴|g(x)|≤·(a++)²=a(3a+2)².

(文)(1)∵M(jìn)(0,4)、N(,1),∴MN所在直線(xiàn)的方程為,

即y=x+4.令y=0,得x,∴C(,0).又ON所在直線(xiàn)方程為y=x,

由得y=.∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(,).

(2)∵M(jìn)(0,4),O(0,0),設(shè)D(x,y),N(x₁,y₁),∴C(x,0).

過(guò)N作NK⊥OC于K,則NK∥CD∥OM,∴,即.①

,即.②

由①②,得∵點(diǎn)N在圓x²+(y-2)²=4上,

∴x₁²+(y₁-2)²=4,即()²+(-2)²=4.整理,得x²=4y.

(3)∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(0,a)且交曲線(xiàn)x²=4y于A、B兩點(diǎn),故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+a,設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

由得x²-4kx-4a=0,∴x₁x₂=-4a.

設(shè)P分的比為λ,則,且=0,∴λ=.

又∵Q(0,-a),∴=(0,2a),=(x₂,y₂+a),=(x₁,y₁+a).

∵點(diǎn)H在射線(xiàn)QB上,設(shè)=m·,則

=m·=(mx₂-x₁,my₂-y₁-(1-m)a),

∵AH⊥PQ,∴=0,即2a[my₂-y₁-(1-m)a]=0.∵a≠0,y₁=x₁²,y₂=x₂²,

m·-(1-m)a=0,m·+x₁x₂=0,m·x₂²-x₁²+(1-m)x₁x₂=0,

()²+(m-1)-m=0,λ²-(m-1)λ-m=0,(λ-m)(λ+1)=0,

∵λ≠-1,∴λ=m.依題意,得λ＞0,m＞0,

∴λ=,m=.∴=.