Question

（08年哈六中）已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.

（Ⅰ）求PC與平面PBD所成的角；

（Ⅱ）求點D到平面PAC的距離；

（Ⅲ）在線段PB上是否存在一點E，使PC⊥平面ADE？

若存在，確定E點的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）設AC與BD相交于點O，連接PO。

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC。

∵BD∩PD=D，  ∴AC⊥平面PBD。

∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角。

∵PD=AD=2，則OC=，PC=2。

在Rt△POC中，∠POC=90°，

∴

∴PC與平面PBD所成的角為30° …………4分

（Ⅱ）過D做DF⊥PO于F，∵AC⊥平面PBD，

DF平面PBD， ∴AC⊥DF。

又∵PO∩AC=O， ∴DF⊥平面PAC。

在Rt△PDO中，∠PDO=90°，

∴PO?DF=PD?DO。

∴  …………8分

（Ⅲ）假設存在E點，使PC⊥平面ADE.

過E在平面PBC內做EM∥PC交BC于點M，

連接AE、AM.

由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC.    ∵PC∥EM，∴AD⊥EM.

要使PC⊥平面ADE，即使EM⊥平面ADE.    即使EM⊥AE.

設BM=，則EM=，EB=； 

在△AEB中由余弦定理得AE²=4+3－4

在Rt△ABM中，∠ABM=90°.  ∴AM²=4+.

∵EM⊥AE，∴4+=4+3－4+2.  ∴－=0. ∵，∴=1.

∴E為PB的中點，即E為PB的中點時，PC⊥平面ADE.  …………12分