Question

（2008•臨沂二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，F(xiàn)為右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0）定點A（-4，0）
（I）求證：當(dāng)λ=1時，有

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）若λ=1時，有

AM

•

AN

=

106

3

，求橢圓C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）確定的橢圓C上，當(dāng)

AM

•

AN

×tan∠MAN的值為6

3

時，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0）通過λ=1時，

MF

=

FN

，M、N兩點在橢圓上，求出x1=x2，然后通過數(shù)量積證明

MN

⊥

AF

．
（II）當(dāng)λ=1時，不妨設(shè)M（c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），通過λ=1時，有

AM

•

AN

，求出a，b，得到橢圓的方程．
（III）由

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S_△AMN=|AF||y₁-y₂|，分別討論當(dāng)直線MN與x軸垂直時和當(dāng)直線MN與x軸不垂直時，滿足條件的MN的方程，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：證明：（I）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0）
則

MF

=（c-x₁，-y₁），

FN

=（x₂-c，y₂），
當(dāng)λ=1時，

MF

=

FN

∴c-x₁=x₂-c且-y₁=y₂
∴x₁+x₂=2c且-y₁=y₂
∵M(jìn)、N兩點在橢圓C上，
∴

x

2 1

=a2(1-

y 2 1

b2

)，

x

2 2

=a2(1-

y 2 2

b2

)
故

x

2 1

=

x

2 2

，即|x₁|=|x₂|，由x₁+x₂=2c可得x₁=x₂=c
∴

MN

=（0，2y₂），

AF

=（c+4，0）
∴

MN

•

AF

=0
∴

MN

⊥

AF

；
解：（Ⅱ）當(dāng)λ=1時，不妨設(shè)M（c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），

AM

•

AN

=（c+4）²-

b4

a2

=

106

3

，
因為a²=

3

2

，b2=

1

2

c2，
∴

5

6

c2+8c+16=

106

3

，
∴c=2，a²=6，b²=2，
故橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（III）

AM

•

AN

×tan∠MAN=|

AM

|•|

AN

|•sin∠MAN=2S_△AMN=|AF||y₁-y₂|
當(dāng)直線MN與x軸垂直時，|y₁-y₂|=

2 6

3

，
|AF||y₁-y₂|=6×

2 6

3

=4

6

不滿足條件
當(dāng)直線MN與x軸不垂直時，設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-2），（k≠0）
由

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1

得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0
∴|y₁-y₂|=

24k4+24k2

1+3k2

∴6×

24k4+24k2

1+3k2

=6

3

即k⁴-2k²+1=0
∴k²=1，解得k=±1
故直線MN的方程為：y=±（x-2）
即x-y-2=0或x+y-2=0

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，向量在幾何中的應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查函數(shù)與方程的思想，計算能力．