Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，其中一個頂點是拋物線x²=的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）是否存在過點P（2，1）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B滿足•，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明埋由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出橢圓方程，利用橢圓C的離心率為，其中一個頂點是拋物線x²=的焦點，求出幾何量，即可得出橢圓的標準方程；
（II）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量知識，即可求得結論．
解答：解：（I）設橢圓的標準方程為（a＞b＞0），則
∵橢圓C的離心率為，其中一個頂點是拋物線x²=的焦點，
∴
∵c²=a²-b²
∴a=2，c=1，
∴橢圓的標準方程為；
（II）若存在過點P（2，1）的直線l滿足條件，則l的斜率存在
設方程為y=k（x-2）+1，代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由△=32（6k+3）＞0，可得
且x₁+x₂=，x₁x₂=
∵
∴
∴[x₁x₂-4（x₁+x₂）+4]（1+k²）=
∴（1+k²）=
∴
∵，∴
∴存在過點P（2，1）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B滿足•，其方程為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．